Прямая l заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат оавс (о — начало координат, а(0; 4), с(4; 0)) на две фигуры. задайте следующие функции f в зависимости от значения а: а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину а; б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину с; в) f(a) — отношение, в котором прямая l делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку а).

Ответы

yulyatalko 03.10.2020 14:47

Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией $y = ax, a \ \textgreater \ 0$ на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку

, — это площадь фигуры под точкой

до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку

, — это площадь фигуры над точкой

и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
==========
а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку

, от величины

.
Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
Рассмотрим оба случая отдельно.
СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
Имеем треугольник $\triangle OAD$ (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной

, а значит от величины

зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении $a \geq 1$ (при $a \ \textless \ 1$ эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку $\angle A = 90^{\circ}$ , отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: $s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}$ . Необходимо выразить эту площадь через величину

, то есть узнать, как катеты

зависят от

. Поразмышляем над этим:
При любом значении $a \geq 1$ катет OA = 4

(из условия точка

имеет координату y = 0

, а точка

координату y = 4

, отсюда

никак не зависит от величины

. Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией y = ax

, но не забывайте, что $a \ \textgreater \ 0$ , а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то $a \geq 1$ .
Теперь подумаем, как от величины

зависит катет

. Это не очень просто, но я постараюсь показать эту зависимость. Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата

. Координата

этой прямой

. С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией y = ax

. Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты

равны. Я пометил где

, а где

на рисунке. Так совпало, что координата

и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией y = ax

. Нас интересует тот самый

, что является катетом треугольника. То есть тот

, который получается при y = 4

. Запишем это:
$y = ax \\ 
4 = ax \\ 
x = \frac{4}{a}$
Мы нашли зависимость катета

от величины

.
Напомню формулу площади:
$s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}$
Где OA = 4

, $AD =\frac{4}{a}$ . Найдем теперь зависимость площади треугольника от

:
$s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} = \frac{4 \cdot \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{a}$
Отлично, зависимость найдена. Но это только при $a \geq 1$ . А что будет в случае, если $0 \ \textless \ a \ \textless \ 1$ ? Подумаем.
СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
Как мы уже отметили, при $0 \ \textless \ a \ \textless \ 1$ точкой

ограничена трапеция OABE

(смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:
$s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB$
Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от $a, (0\ \textless \ a \ \textless \ 1)$ . Основание

и высота

от

не зависят. Зависит только меньшее основание

. Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, OA = 4

. Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции

от величины

. Видим, что BC = BE + EC = 4

Отсюда:

Остается найти

. Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем EC = y

, а на этот раз x=4

. Получаем:
$y = ax \\ 
y = 4a \\ 
y = EC \\ 
EC = 4a$
Вспоминаем где нам нужно было

.
Теперь же найдем площадь трапеции:
$s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB = \frac{4 + 4 - 4a}{2} \cdot 4 = \frac{4(2 - a)}{2} \cdot 4 = 16 - 8a$
======
Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину

, зависит от величины

, причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы:
$S_{A} = \left \{ {{\frac{8}{a}, (a \geq 1)} \atop {16 - 8a, (0 \ \textless \ a \ \textless \ 1)}} \right.$

Прямая l заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат оавс (о — начало координат, а(0; 4), с