При каких значениях b и c парабола y=x^2+bx+c касается прямой y=4x+1 в точке а(1; 5) ?

Есть парабола y=x^2+bx+c, есть уравнение прямой y=4x+1 которая касается параболы в точке А(1;5)
y=4x+1   k=4   b=1
f'(x0)=k (f(x)-парабола)  x0-абцисса точки касания
f'(x)=2x+b
2x+b=4
2*1+b=4
b=2
можно сказать что точка А(1;5) удовлетворяет уравнению параболы т.е мы можем подставить x и y в это уравнение.
5=1^2+b*1+c  т.к b=2 то
5=2+2+c
c=1
ответ: b=2   c=1

b = c = 2

Объяснение:

прямая y = 4x + 1 касается графика y = x² + bx + c в точке A(1; 5) означает, что:

1) Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания

Если y = kx + b - касательная, то k = f'(x₀), где x₀ - точка касания; в нашем случае: y' = 2x + b; x₀ = 1; y'(x₀) = y'(1) = 2 + b; 4 = 2 + b; b = 2

2) Точка касания - общая точка параболы и прямой, то есть

x² + bx + c = 4x + 1 при x = 1

1 + b + c = 5

3 + c = 5

c = 2

b=c=2

Объяснение:

Так как график функции y=x²+b·x+c проходит через точку А(1; 5), то

5=1²+b·1+c ⇔ c=4-b.

Из условия следует, что графики функций y=x²+b·x+c и y=4·x+1 имеют только одну общую точку пересечения А(1;5).

Приравниваем функции:

x²+b·x+c=4·x+1 ⇔ x²+(b-4)·x+(c-1)=0.

По условию последнее квадратное уравнение должен иметь единственное решение, которое возможно если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

D=(b-4)²-4·1·(c-1)=0 ⇔ (b-4)² = 4·(c-1).

Подставим c=4-b в последнее равенство и находим b:

(b-4)² = 4·(4-b-1) ⇔ b²-8·b+16 = 4·(3-b) ⇔ b²-8·b+16 = 12-4·b ⇔

⇔ b²-4·b+4 = 0 ⇔ (b-2)²=0 ⇔ b = 2.

Тогда

c=4-b=4-2=2.