При каких действительных а уравнение (а-1)*3^2х-(2а-1)*3^х-1=0 имеет два различных корня?

(a-1)*(3^x)² -(2a-1)*(3^x) -1 =0 ;
Если a-1 =0 ⇔ a=1 получается  -(3^x +1) = 0  которое  не имеет решения.
a ≠ 1 _квадратное уравнение относительно  3^x ,  замена    t =3^x
(a-1)t² -(2a-1)t -1 =0 ; это  ур-е должно иметь 2 положительных корней.

для этого необходимо и  достаточно выполнение :
{ D >0 ;  t₁*t₂ > 0 ; t₁ +t₂ > 0 .
{ (2a-1)² + 4*(a-1) >0 ; -1/(a-1) >0 ; (2a -1)/(a-1)  >0 .
{ (2a-1)² + 4*(a-1) >0 ;1/(a-1) < 0 ; 2(a -1/2)/(a-1)  >0 .
{ 4a² -3 >0 ; a<1; 2(a-1/2)(a-1) >0   * * *  a/b> 0 ⇔ab>0  b≠0 * * *
{ a ∈(-∞; -(√3)/2 ) U (√3)/2 ;∞) ; a<1 ; a∈(-∞;1/2) U (1; ∞) ⇒a∈ -(∞; -(√3)/2 ).

ответ: a∈ -(∞; -(√3)/2 ).


(a-1)t² -(2a-1)t -1 =0 ⇔ t² -  ( (2a -1)/(a-1) )* t  -1/(a-1) =0  ;
t₁*t₂ =  -1/(a-1) b
t₁ +t₂  =(2a -1)/(a-1) ..