Практическая работа.
Тема: Производная функции
Вариант 1
1
Найти производную функции в точке х
0
:
π
2
а) у= 3 х
, х
0
=1 в) у= -2sin x, х
0
=
4
π
б) у= cos x, х
0
=
6
г) у= 2 + √ х , х
0
= 4
m
2 Приведя функцию к виду у = k · x
( m ¿ Z ) , найти производную
2
1
х5
3
2
а) у= 3 х
х
, б) у= х2
, в) у=
3х5
, г) у=
175
.
3 Используя формулу производной от суммы, найти производную
3
2
2+5х+ 1
х −5 х +1
х
2
а) у= х
, б) у= х ( х
−5 х+1) , в) у =
х
.
4 Используя формулы производной от произведения и частного, найти производную
х2
а) у = x ·cos x , б) у =
1+ х .
5 Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную
π
2−3 х+1)7
2
2
a) у = ( х
, б) у = √ х −3 х+1
, в) у = tg ( 3x -
4
), г) y = cos
х .
Вариант 2
1.Найти производную функции в точке х
0
:
π
3
а) у= 2 х
, х
0
= - 1 в) у= -2 cos x, х
0
=
4
π
б) у= sin x , х
0
=
3
г) у = 1+2 · √ х , х
0
= 9
m
2 Приведя функцию к виду у = k · x
( m ¿ Z ) , найти производную
3
1
х6
3
а) у= 2 х
х, б) у= х3
, в) у=
2 х4
, г) у=
156
3 Используя формулу производной от суммы, найти производную
1
х5
4
3+4 х2−
+4 х −1
3
2
а) у= х
х2
, б) у= х ( х
+4 х −1)
2
, в) у =
х
.
4 Используя формулы, найти производную
х
2
а) у = x · sin x , б) у =
1+ х
.
5 Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную
π
2
a) у = ( х
+4 х−1 )6
2
, б) у = √ х +4 х−1
3
2
, в) у =ctg ( 2x +
), г) y = sin
х .

Добрый день! Я буду выступать в роли школьного учителя и помогу вам разобраться с задачами по производной функции.

1. Найти производные функций в заданных точках:

а) Функция: у=3х, х0=1.
Для нахождения производной функции y=3x, применим правило дифференцирования для степенной функции: y'=kx^(k-1).
Так как k=1, получим: y'=1*3x^(1-1)=3.
Производная функции y=3x равна 3.
Теперь найдем значение производной в точке x=1: y'(1)=3.

в) Функция: у=-2sinx, х0=4π.
Производная функции y=-2sinx найдется с помощью правила дифференцирования для функции sinx: y'=cosx.
Теперь найдем значение производной в точке x=4π: y'(4π)=cos(4π)=-1.

б) Функция: у=cosx, х0=6.
Аналогично предыдущему случаю, производная функции y=cosx равна y'=-sinx.
Значение производной в точке x=6: y'(6)=-sin(6).

г) Функция: у=2+√x, х0=4m^2.
Производная функции y=2+√x найдется с помощью правила дифференцирования для корневой функции: y'=1/(2√x).
Значение производной в точке x=4m^2: y'(4m^2)=1/(2√(4m^2))=1/(2*2m)=1/(4m).

2. Привести функцию к виду y=kx^m и найти ее производную:

а) Функция: y=3x^5.
Эта функция уже имеет необходимый вид y=kx^m, где k=3 и m=5.
Производная функции y=3x^5 найдется с помощью правила дифференцирования для степенной функции: y'=mkx^(m-1).
Так как k=3 и m=5, получим: y'=5*3x^(5-1)=15x^4.

Таким образом, производная функции y=3x^5 равна 15x^4.

в) Функция: y=2x^2.
Эта функция уже имеет необходимый вид y=kx^m, где k=2 и m=2.
Производная функции y=2x^2 найдется с помощью правила дифференцирования для степенной функции: y'=mkx^(m-1).
Так как k=2 и m=2, получим: y'=2*2x^(2-1)=4x.

Таким образом, производная функции y=2x^2 равна 4x.

3. Найти производные функций, используя формулу производной от суммы:

а) Функция: y=3x^2+5x+1.
Производная функции y=3x^2+5x+1 найдется с помощью формулы производной от суммы: y'=d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx.
Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
- u=3x^2, du/dx=6x.
- v=5x, dv/dx=5.
Теперь сложим эти производные: y'=6x+5.

Таким образом, производная функции y=3x^2+5x+1 равна 6x+5.

б) Функция: y=x(x^2-5x+1).
Производная функции y=x(x^2-5x+1) найдется с помощью формулы производной от произведения: y'=d(ux)/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
- u=x, u'(x)=1.
- v=x^2-5x+1, v'(x)=(2x-5).
Теперь подставим значения: y'=1(x^2-5x+1)+x(2x-5)=x^2-5x+1+2x^2-5x=x^2+2x^2-10x-5x=x^2+2x^2-15x.

Таким образом, производная функции y=x(x^2-5x+1) равна x^2+2x^2-15x.

в) Функция: y=x^2.
Производная функции y=x^2 равна y'=2x.

Таким образом, производная функции y=x^2 равна 2x.

4. Найти производные функций, используя формулы производной от произведения и частного:

а) Функция: y=x*cosx.
Производная функции y=x*cosx найдется с помощью формулы производной от произведения: y'=d(ux)/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
- u=x, u'(x)=1.
- v=cosx, v'(x)=-sinx.
Теперь подставим значения: y'=1*cosx+x*(-sinx)=cosx-sinx*x=cosx-sinx*x.

Таким образом, производная функции y=x*cosx равна cosx-sinx*x.

б) Функция: y=1+x.
Производная функции y=1+x равна y'=1.

Таким образом, производная функции y=1+x равна 1.

5. Найти производные функций, используя правило дифференцирования сложной функции:

а) Функция: y=(x^2+4x-1)^7.
Производная функции y=(x^2+4x-1)^7 найдется с помощью правила дифференцирования сложной функции: y'=d(u^n)/dx=n(u^(n-1))*u'.
Продифференцируем функцию в скобках: u=x^2+4x-1, u'=2x+4.
Теперь подставим значения: y'=7(x^2+4x-1)^(7-1)*(2x+4)=7(x^2+4x-1)^6*(2x+4).

Таким образом, производная функции y=(x^2+4x-1)^7 равна 7(x^2+4x-1)^6*(2x+4).

б) Функция: y=sqrt(x)+4x-1.
Производная функции y=sqrt(x)+4x-1 найдется с помощью правила дифференцирования сложной функции: y'=d(u+v+w)/dx=du/dx+dv/dx+dw/dx.
Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
- u=sqrt(x), du/dx=1/(2sqrt(x)).
- v=4x, dv/dx=4.
- w=-1, dw/dx=0.
Теперь сложим эти производные: y'=1/(2sqrt(x))+4+0=1/(2sqrt(x))+4.

Таким образом, производная функции y=sqrt(x)+4x-1 равна 1/(2sqrt(x))+4.

в) Функция: y=ctg(2x+4).
Производная функции y=ctg(2x+4) найдется с помощью правила дифференцирования сложной функции: y'=d(u^n)/dx=n(u^(n-1))*u'.
Продифференцируем функцию в скобках: u=2x+4, u'=2.
Теперь подставим значения: y'=-1/(sin^2(2x+4))*2=-2/(sin^2(2x+4)).

Таким образом, производная функции y=ctg(2x+4) равна -2/(sin^2(2x+4)).

г) Функция: y=cos(x).
Производная функции y=cos(x) равна y'=-sin(x).

Таким образом, производная функции y=cos(x) равна -sin(x).

Надеюсь, я смог дать достаточно подробные объяснения и решения, чтобы ответы стали понятны школьнику. Если возникнут еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спросите.