Пассажир может обратиться за получением билет в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,3, 0,4 и 0,3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,4, для второй - 0,2, для третьей - 0,7. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Для решения данной задачи нам необходимо применить формулу условной вероятности.

Обозначим события:
А - пассажир обращается за билетом в конкретную кассу
В - билеты в кассе, куда обратился пассажир, распроданы

Таким образом, нам нужно найти вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность обращения пассажира в каждую кассу относительно их местонахождения равна 0,3, 0,4 и 0,3 соответственно. Вероятность того, что билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы 0,4, для второй - 0,2, для третьей - 0,7.

Тогда вероятность события В можно выразить как:

P(В) = P(В|А1) * P(А1) + P(В|А2) * P(А2) + P(В|А3) * P(А3),

где P(В|А1), P(В|А2) и P(В|А3) - вероятности события В при условии, что пассажир обратился в соответствующую кассу, а P(А1), P(А2) и P(А3) - вероятности обращения пассажира в каждую из трех касс.

Теперь применим формулу условной вероятности для нахождения вероятности события А1 при условии события В:

P(А1|В) = P(В|А1) * P(А1) / P(В),

где P(А1|В) - искомая вероятность, P(В|А1) - вероятность события В при условии пассажира обратился в первую кассу, P(А1) - вероятность обращения пассажира в первую кассу, P(В) - вероятность события В.

Теперь заменим выражение P(В) в формуле:

P(А1|В) = P(В|А1) * P(А1) / (P(В|А1) * P(А1) + P(В|А2) * P(А2) + P(В|А3) * P(А3)).

Подставим данные значения:

P(А1|В) = 0,4 * 0,3 / (0,4 * 0,3 + 0,2 * 0,4 + 0,7 * 0,3) = 0,12 / (0,12 + 0,08 + 0,21) = 0,12 / 0,41 = 0,293.

То есть, вероятность того, что пассажир обратился в первую кассу при условии, что билеты в ней распроданы, составляет примерно 0,293 или около 29,3%.