Oпределите число решений системы уравнений |x+1|+|x+2|=a.

Объединение трех систем :
Oпределить число решений системы уравнений |x+1|+|x+2|=a.

Ясно ,что система не имеет решения, если a ≤ 0 (  a = 0 невозможно т.к.  x+1 и  x+2  одновременно не равняются нулю).

Гораздо прозрачнее  геометрическая интерпретация d₁ =|x-(-2)| ,d₂ =|x-(-1)| , , расстояние  d между точками A(-2) и B(-1 ):   d=| -1 -(-2)| =|(-2)-1| =1 . d₁ + d₂ =1

Объединение трех систем :
{x < -2  ;-x- 2  - x-1 =a .⇔{ x < -2  ;x = - (3 +a)/2 .
{ - 2≤x<-1 ; x+2 -x-1 =a.⇔ { - 2≤x<-1 ;  0*x=a -1.
{ x≥ -1 ; x+2 +x +1 =a.⇔ { x≥ -1 ;  x = (a-3)/2.

Если  - (3 +a)/2 > -2  т.е .при  a<1  первая система уравнений не имеет решения одновременно и третья .
Если  (a-3)/2  < -1 т.е .при  a<1 третья система не имеет решения (и первая что уже рассмотрели) .
Допустим a=1 тогда  { - 2≤x<1 ;  0*x=a -1⇔{ - 2≤x<1 ;  0*x=0 .⇒ x∈ [ -2;1) 
бесконечное число решения.