Найти экстремум функций
z=x2-xy+y2+3x-2y+1​

Для нахождения экстремумов функции z=x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1, необходимо взять ее частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю.

Для начала найдем частную производную по x. Для этого продифференцируем каждое слагаемое функции по x, считая остальные переменные (у и константы) постоянными. Получим:

∂z/∂x = 2x - y + 3

Затем найдем частную производную по y. Для этого продифференцируем каждое слагаемое функции по y, считая остальные переменные (x и константы) постоянными. Получим:

∂z/∂y = -x + 2y - 2

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

2x - y + 3 = 0 (1)
-x + 2y - 2 = 0 (2)

Умножим первое уравнение на 2 и сложим с вторым уравнением:

4x - 2y + 6 - x + 2y - 2 = 0

Упростим:

3x + 4 = 0

Отсюда получим:

3x = -4
x = -4/3

Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений (1 или 2) и найдем y:

2*(-4/3) - y + 3 = 0
-8/3 - y + 3 = 0
-8/3 + 3 = y
(9-8)/3 = y
y = 1/3

Таким образом, найдены значения x = -4/3 и y = 1/3, при которых частные производные функции равны нулю.

Теперь найдем вторые производные и определим их тип в точке (x, y) = (-4/3, 1/3).

Возьмем вторую производную по x: ∂²z/∂x².
Для этого продифференцируем частную производную по x (∂z/∂x) по x.

∂²z/∂x² = 2

Затем возьмем вторую производную по y: ∂²z/∂y².
Для этого продифференцируем частную производную по y (∂z/∂y) по y.

∂²z/∂y² = 2

Возьмем смешанную вторую производную по x и y: ∂²z/∂x∂y.
Для этого продифференцируем частную производную по x (∂z/∂x) по y.

∂²z/∂x∂y = -1

Теперь проверим тип вторых производных в точке (-4/3, 1/3). Для этого используем критерий Сильвестра.

Построим матрицу Гессе:

| ∂²z/∂x² ∂²z/∂x∂y |
| ∂²z/∂x∂y ∂²z/∂y² |

Подставим значения вторых производных в точке (-4/3, 1/3):

| 2 -1 |
| -1 2 |

Вычислим определители малых матриц 2x2:

D1 = 2
D2 = (2 * 2) - (-1 * -1) = 3

Так как D1 > 0 и D2 > 0, то в точке (-4/3, 1/3) функция имеет минимум.

Итак, экстремум функции z=x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1 равен минимуму и находится при x = -4/3 и y = 1/3.