Найдите значение выражения log4(16b) , если b > 0 , log4(b^2) = 9

Давайте начнем сведением данного выражения к более простым:

У нас есть два выражения в задаче: log4(16b) и log4(b^2). Мы знаем, что log4(b^2) равно 9. Для того чтобы использовать это знание в другом выражении, мы можем воспользоваться свойством логарифмов: log_a(b) = c эквивалентно a^c = b.

Таким образом, мы можем переписать log4(b^2) = 9 как 4^9 = b^2. Далее, мы можем взять корень из обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от степени 2 и получить значение b:

sqrt(4^9) = sqrt(b^2)

Справа у нас останется только "b", так как квадратный корень из b^2 равен просто b. Извлекая квадратный корень из 4^9, получим:

2^9 = b

Теперь у нас есть значение b. Мы можем подставить его в исходное выражение log4(16b) и вычислить его значение:

log4(16b) = log4(16 * 2^9)

Теперь раскроем скобки внутри логарифма и сократим:

log4(16 * 2^9) = log4(2^4 * 2^9) = log4(2^13)

Опять же, воспользуемся свойствами логарифмов для упрощения:

log4(2^13) = 13 * log4(2)

Теперь нам нужно найти значение log4(2). Мы можем рекурсивно применить свойство логарифма и выразить это выражение через степень, которую нужно возвести 4, чтобы получить 2:

4^x = 2

Мы знаем, что x = 1/2, так как квадратный корень из 4 равен 2. Таким образом, мы можем подставить это значение обратно в первоначальное выражение:

13 * log4(2) = 13 * 1/2 = 13/2

Итак, значение выражения log4(16b) равно 13/2 или 6.5.