Найдите все первообразные:

а) f(х)=х3-3х2+х-1; б) у = 4+7х

Хорошо, давайте начнем с первой функции:

a) f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1

Чтобы найти первообразную этой функции, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

1. Начнем с поиска первообразной для каждого отдельного слагаемого функции f(x):

- Для слагаемого x^3 мы знаем, что первообразная будет иметь вид (1/4)x^4. Как мы узнали такой ответ? Мы знаем, что производная от (1/4)x^4 равна x^3, поэтому эта функция будет первообразной для x^3.

- Для слагаемого -3x^2 первообразной будет (-1)x^3. Как мы это узнали? Мы знаем, что производная от (-1)x^3 равна -3x^2, поэтому эта функция будет первообразной для -3x^2.

- Для слагаемого x первообразной будет (1/2)x^2. Как мы это узнали? Мы знаем, что производная от (1/2)x^2 равна x, поэтому эта функция будет первообразной для x.

- Для слагаемого -1 первообразной будет (-1)x. Как мы это узнали? Мы знаем, что производная от (-1)x равна -1, поэтому эта функция будет первообразной для -1.

2. Теперь объединим все эти первообразные, чтобы получить общую первообразную для функции f(x):

F(x) = (1/4)x^4 - x^3 + (1/2)x^2 - x + C

C здесь - это константа интегрирования, которая может принимать любое значение.

Таким образом, общая первообразная для функции f(x) равна (1/4)x^4 - x^3 + (1/2)x^2 - x + C, где C - произвольная константа.

Теперь перейдем ко второй функции:

б) y = 4 + 7x

Чтобы найти первообразную для этой функции, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна y.

1. Здесь все слагаемые являются линейными выражениями, поэтому применяем правило интегрирования для линейных функций:

Для выражения 4 производная будет равна 4x. Чтобы найти первообразную для 4, мы заметим, что производная от 4x равна 4, поэтому первообразная будет (4x)x = (4/2)x^2 = 2x^2.

Для выражения 7x производная будет равна (7/2)x^2. Чтобы найти первообразную для 7x, мы заметим, что производная от (7/2)x^2 равна 7x, поэтому первообразная будет (7/2)x^2.

2. Объединяем все эти первообразные, чтобы получить общую первообразную для функции y:

F(x) = 2x^2 + (7/2)x^2 + C

Таким образом, общая первообразная для функции y равна (2 + 7/2)x^2 + C, где C - произвольная константа.

Важно отметить, что приведенные выше решения являются лишь одними из множества возможных ответов. Они следуют определенным правилам и методикам, но могут существовать и другие равно правильные решения.