Найдите точку минимума функции y= (x^2-9x+ 9) *e^ x+27

Для нахождения точки минимума функции, нам необходимо применить метод дифференцирования. Перед тем, как продолжить, я ознакомлю тебя с некоторыми основными понятиями.

Дифференцирование – это процесс нахождения производной функции. Производная функции в каждой точке определяет скорость изменения функции в этой точке, а также наклон касательной к этой функции.

Итак, давай начнем:

Шаг 1: Заданная функция y = (x^2-9x+9)e^x + 27

Шаг 2: Дифференцируем данную функцию, чтобы найти производную. Поскольку функция состоит из двух слагаемых, мы должны применить правило производной суммы:

y' = [(x^2-9x+9)(e^x)' + (e^x)(x^2-9x+9)'] + 0

e^x - производная этого слагаемого равна самому себе, поэтому она не меняется.
(x^2-9x+9) - первое слагаемое, дифференцируемое как обычное квадратное уравнение, g.

Теперь применим правило производной произведения функций для этого слагаемого:

g' = (2x-9) (угловые скобки нужно пропустить, чтобы не путать)

Теперь продолжим:

y' = (x^2-9x+9)(e^x) + (2x-9)(e^x)+0

y' = (x^2-9x+9 + 2x-9)(e^x) +0

y' = (x^2-7x)(e^x) +0

Шаг 3: Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение:

(x^2-7x)(e^x) = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Произведение равно нулю только если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два варианта:

1. x^2 - 7x = 0
Это уравнение является квадратным, мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного корня.

x(x - 7) = 0
x = 0 или x - 7 = 0
x = 0 или x = 7

2. e^x = 0
Это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция e^x всегда положительна.

Таким образом, основную точку экстремума данной функции можно найти, решив уравнение x = 0 или x = 7.

Шаг 4: Определим характер экстремума.

Для этого найдем вторую производную функции и определим ее знак в точке экстремума.

Дифференцируем полученную производную по x:

y'' = [(2x - 7)(e^x) + (x^2-7x)(e^x)' ] + 0
y'' = (2x - 7)(e^x) + (x^2-7x)(e^x)

Теперь найдем y''(0) и y''(7) при подставлении x = 0 и x = 7 соответственно:

y''(0) = (2(0) - 7)(e^0) + (0^2-7(0))(e^0)
y''(0) = -7 + 0
y''(0) = -7

y''(7) = (2(7) - 7)(e^7) + (7^2-7(7))(e^7)
y''(7) = 0 + 0
y''(7) = 0

Итак, мы получили значение второй производной функции в точках x = 0 и x = 7. Зная, что y'' < 0, это означает, что x = 0 является точкой максимума, а x = 7 является точкой минимума.

Шаг 5: Ответ.

Таким образом, точка минимума функции y = (x^2-9x+9)e^x + 27 находится при x = 7.
Это означает, что при x = 7 значение функции будет минимальным.