Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма первых трёх членов равна 14, а произведение
этих членов равно 64.
нужно

Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы суммы элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммы первых n членов такой прогрессии имеет вид:

Sn = a / (1 - r),

где Sn - сумма первых n членов, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В нашей задаче дано, что сумма первых трех членов равна 14, поэтому:

S3 = a / (1 - r) = 14.

Также задано, что произведение этих трех членов равно 64, то есть:

a * a * r = 64.

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными a и r:

Система уравнений:

a / (1 - r) = 14

a * a * r = 64.

Для решения этой системы уравнений можно использовать подходящий метод, например, метод подстановки или метод исключения. В данном случае, наиболее удобным будет метод исключения.

Выразим из первого уравнения a через r:

a = 14 * (1 - r).

Подставим полученное выражение для a во второе уравнение:

(14 * (1 - r)) * (14 * (1 - r)) * r = 64.

Упростим это уравнение:

196 * (1 - r) * (1 - r) * r = 64.

Можно теперь решить это уравнение относительно r методом исследования знака. Выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки и приведем подобные:

196 * (1 - 2r + r^2) * r = 64.

2. Раскроем еще одну скобку:

196 * (r - 2r^2 + r^3) = 64.

3. Упростим:

196r - 392r^2 + 196r^3 = 64.

4. Перенесем все в левую часть уравнения:

196r^3 - 392r^2 + 196r - 64 = 0.

5. Воспользуемся рациональным корнем теоремы и подставим в уравнение различные числители и знаменатели возможных рациональных корней. В данном случае, нам повезет, и одним из корней уравнения будет r = 1.

6. Теперь применим деление синтетическое деление или деление столбиком, чтобы разложить f(r) = 196r^3 - 392r^2 + 196r - 64 на множители.

f(r) = (r - 1)(196r^2 - 196r + 64).

7. Решим уравнение 196r^2 - 196r + 64 = 0. Это можно сделать с помощью квадратного уравнения или метода дискриминанта.

D = (-196)^2 - 4 * 196 * 64 = 38416.

D > 0, поэтому у уравнения два различных вещественных корня:

r1 = (196 + sqrt(38416)) / (2*196) ≈ 0.51,
r2 = (196 - sqrt(38416)) / (2*196) ≈ 0.49.

Таким образом, у нас есть три возможных значения для r: 1, 0.51 и 0.49.

Подставим найденные значения r в формулу для a:

a1 = 14 * (1 - 1) = 0,
a2 = 14 * (1 - 0.51) ≈ 7.86,
a3 = 14 * (1 - 0.49) ≈ 7.76.

Итак, мы получили три возможных прогрессии:

1) 0, 0, 0, 0,...
2) 0, 7.86, 7.86^2, 7.86^3, ...
3) 0, 7.76, 7.76^2, 7.76^3, ...

Сумма первых трех членов в первой прогрессии равна 0 + 0 + 0 = 0.
Сумма первых трех членов во второй прогрессии равна 0 + 7.86 + 7.86^2 ≈ 64.43.
Сумма первых трех членов в третьей прогрессии равна 0 + 7.76 + 7.76^2 ≈ 62.31.

Значение 14 суммы первых трех членов прогрессии (условие задачи) не достигается ни в одной из трех прогрессий.

Таким образом, ответ на задачу: сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма первых трех членов равна 14 и произведение этих членов равно 64, не существует.