Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1 ; у=2х+5; y=11x+23

Ответы

Animashka11 02.10.2020 07:29

Решаем чисто аналитически:

Сначала найдем точки пересечения прямых (каждой с каждой), получим 3 точки, являющиеся вершинами треугольника.

y_1=3x-1; y_2=2x+5; y_3=11x+23;

$y_1=y_2: 3x-1=2x+5; x=6; y=3\cdot6-1=17; (6;17)$ пусть это будет точка А.

$y_1=y_3: 3x-1=11x+23; 8x=-24; x=-3; y=3\cdot(-3)-1=-10; (-3;-10)$ пусть это будет точка В.

$y_2=y_3: 2x+5=11x+23; 9x=-18; x=-2; y=2\cdot(-2)+5=1; (-2;1)$ пусть это будет точка С.

Итак, нашли координаты вершин треугольника.

Теперь вычислим расстояния между точками (от каждой до каждой)

Напомню, что расстояние между точками (x_1;y_1); (x_2; y_2)

считается по формуле $l = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$|AB|=\sqrt{(-3-6)^2+(-10-17)^2}=\sqrt{(-9)^2+(-27)^2} = \\ =\sqrt{9^2(1^2+3^2)}=9\sqrt{10}$

$|AC|=\sqrt{(-2-6)^2+(1-17)^2}=\sqrt{(-8)^2+(-16)^2}=\sqrt{8^2(1^2+2^2)}=\\ =8\sqrt{5}$

$|BC|=\sqrt{(-2-(-3))^2+(1-(-10))^2} =\sqrt{1^2+11^2}=\sqrt{122}$

Известны длины всех сторон. По формуле Герона мы можем вычислить площадь. Но очень неприятно возиться с корнями, поэтому найдем лучше найти высоту треугольника, например, проведенной к основанию AC. Для этого надо вычислить коэффициенты уравнения прямой, содержащей эту высоту. Это можно сделать, исходя из того факта, что прямые BH (BH - высота к AC) и AC перпендикулярны, а значит, произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной AC и проходящей через точку B, имеет вид

$$y=-\frac{1}{k_{AC}}(x-x_1)+y_1 ; B(x_1;y_1);$

Надо понять, какое уравнение содержит точки A и C. Подставив в каждое координаты точек A и C, поймем, что это второе уравнение

y=2x+5

А учитывая, что B(-3;-10), получаем уравнение прямой, содержащей высоту к AC.

$$y=-\frac{1}{2}(x+3)-10; y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}-10; \boxed{y=-\frac{1}{2}x-\frac{23}{2} }$

Теперь найдем координаты точки H - это пересечение прямой, содержащей высоту и прямой, содержащей точки A и C.

То есть

$$-\frac{1}{2}x-\frac{23}{2}=2x+5; -x-23=4x+10; 5x=-33; x=-\frac{33}{5};$

$$y=2\cdot (\frac{-33}{5})+5=\frac{-66+25}{5}=-\frac{41}{5}; (\frac{-33}{5}; -\frac{41}{5})$

Вычислим длину высоты:

$$|h|=\sqrt{(-3+\frac{33}{5} )^2+(-10+\frac{41}{5} )^2} =\sqrt{(\frac{18}{5} )^2+(-\frac{9}{5} )^2} =\sqrt{\frac{18^2+9^2}{5^2} } =$

$$=\frac{9\sqrt{5} }{5}$

Площадь треугольника равна половине произведения основанию на высоту, проведенную к этому основанию. Считаем:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5}\cdot \frac{9\sqrt{5} }{5}=\frac{72\sqrt{25} }{10}=\frac{72\cdot 5\cdot }{10}=36$

ответ: $\boxed{S=36}$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

НеПøтêpяHHåя 02.10.2020 07:29

Найдем вершины треугольника. Пусть точки А, В, С будут точками пересечения прямых y=3x-1 ;у=2х+5; y=11x+23.

3x-1 =2х+5; отсюда х=6, у=3*6-1=17 . А(6;17)

2х+5=11x+23. отсюда 9х=-18;х=-2, у = 1. В(-2;1)

3x-1 =11x+23. отсюда 8х=-24; х=-3, у=-9-1=-10. С(-3;-10). Найдем площадь , используя векторный метод.

Продолжение см. в файле.

Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1 ; у=2х+5; y=11x+23

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра

22222ssssssss 09.05.2021 14:52

Перевод на русский: 1. Найдите подбором корни уравнения; 2. Один из корней уравнения равен -3,5. Найдите q и второй корень; 3. Составьте сведено квадратное уравнение,...

DarkWolfe2017 09.05.2021 14:56

Найдите значение выражения a²-9a ,если a+корень a=4...

stetcenko87 09.05.2021 15:01

Поезд движется со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо человека, идущего параллельно путям в том же направлении со скоростью 5 км/ч за 15 секунд. Найти длину поезда....

mityatimofeev 24.09.2019 08:40

График функции y=4x+b проходит через точку k(2; 2). найдите число b....

Arsen290 24.09.2019 08:40

Нужно подробное решение ! стороны треугольника выражаются уравнениями x+3y-2=0, 2x+y+5=0, 3x-4=0. найти уравнения высот этого треугольника?...

alenafgfgf 24.09.2019 08:40

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: 5cos x+2sin 2x=0....

rassslabon 24.09.2019 08:50

20^(sqrt(2x^2-5x+1)-2)=2^(sqrt(2x^2-5x+1)-2)*5^(2(sqrt(2x^2-5x+) решить...

EvkShaih 13.09.2020 12:47

Выполните умножение, выбрав удобный порядок вычислений: а) (-2) (- 2 ) (-15)б) - 4,8 - (-) (- 6,6).в) - 8,8 - 0,75 :(-2) - 0,5...

FireFox2017 13.09.2020 12:47

Найдите значения выражения...

Wer77 13.09.2020 12:46

За какое время проедит велосипедист 3 км если будет ехать со скоростью 15км/ч?...

Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1 ; у=2х+5; y=11x+23

Популярные вопросы