Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.

Ответы

Milediteul 28.06.2020 01:33

Пусть наши член равны
$a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}....a_{n}$

по первому условию , сумма равна
$\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{13}}{a_{n-12}...+a_{n-1}+a_{n}}=0.5$
это же условие можно переписать в виде
$S_{13}=(a_{1}+6d)*13 \\
$
а последний 13 можно в виде
$S_{13}'=13(a_{1}+d(n-7))$
по условию следует что
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}$

По второму условию задачи следует что
$S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3})$
ее можно переписать в виде
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d)$
а последние без трех можно переписать в виде
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6))$
заметим то что
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1})
$
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1})$
по условию получаем
$\frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}$

получаем систему уравнений
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}\\
\frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}\\
\\
2(a_{1}+6d)=a_{1}+dn-7d\\
3(dn+2d+2a_{1})=4(dn-4d+2a_{1})\\
\\
a_{1}+19d=dn\\
22d-2a_{1}=dn\\
\\
a_{1}+19d=22d-2a_{1}\\
3a_{1}=3d\\
a_{1}=d\\
\\
\frac{7d}{d+dn-7d}=0.5\\
\frac{dn+4d}{dn-2d}=\frac{4}{3}\\\\
7d=0.5d+0.5dn-3.5d\\
3dn+12d=4dn-8d\\\\
n=20$
ответ