Лена живет на 19-м, а витя - на 96 этаже 100-этажного дома. лифт в доме имеет только 2 кнопки: "+7"(поднимает на 7 этажей) и "-9" (опускает на 9 этажей). смогут ли лена с витей съездить друг к другу в гости на лифте? объясните
свой ответ.

1) 96 - 9k + 7m = 19 - если мы найдем натуральные k и m, которые удовлетворяют этому уравнению, то Витя сможет поехать в гости к Лене.

96 - 9k + 7m = 19 => 9k - 7m = 77 => k делится на 7 => k = 7d, d = 0,1,2,3,4,5... и m = (9k - 77)/7 => k = 7d, d = 0,1,2,3,4,5... и 9k - 77 ≥ 0 => k = 7d, d = 2,3,4,5... и m = (9k - 77)/7 (*)

Начнем с k = 14 и продолжим для других k, пока решение (если оно существует) не будет найдено:

k = 14 => из (*) получим, что m = 7. Ура, нам (и, особенно, Вите) крупно повезло! Нажав 7 раз (не подряд!) на кнопку "+7" и 14 раз (не подряд!) на кнопку "-9", Витя с 96 этажа попадет на 19-й этаж в жаркие обьятия Лены.

Поскольку в доме 100 этажей, то действовать Вите нужно с оч-ч-чень большой осторожностью дабы не вылететь в трубу, как ящерка Билль :-) , или, не дай Б-г, не провалиться в подвал...

Осторожный Витя может, например, сначала нажать 10 раз на кнопку "-9" (после чего он попадет на 96 + 10*(-9) = 6 этаж), затем 7 раз - на кнопку "+7" (он окажется на 6 + 7*7 = 55 этаже), а затем 4 раза - на кнопку "-9" (55 + 4*(-9) = 19 этаж. Приехали! Встречай, родная!)

2) 19 + 7s - 9p = 96 - если мы найдем натуральные s и p, которые удовлетворяют этому уравнению, то Лена сможет поехать в гости к Вите.

Для Лены дело обстоит куда как проще: 19 + 7s - 9p = 96 => 19 - 9p = 96 - 7s ≥ 0 => p ≤ 2, s ≤ 13 и 7s - 77 = 9p => p = 0,1,2, s ≤ 13 и p делится на 7 (т.е. p = 7d, d = 0,1,2,3,...) => p = 0 и s = (9p + 77)/7 = 11. Нажав 11 раз на кнопку "+7" Лена с 19 этажа попадет к Вите на 96-й этаж.

Прямо Ромео и Джульетта пост-советские какие-то...

Смогут ли наши герои встретится? Смогут, конечно смогут. Надеюсь, что их встреча будет особенно запоминающейся после столь долгих и утомительных поездок на лифте. Кстати, а Лена-то одна на 19-м этаже, или их несколько там в разных квартирах живет? Об этом в условии ничего не сказано... Как бы Витя дверью не ошибся :-) Да и Витя, возможно, не один такой... К тому же, уважаемый stosik предположил, что и на 16-м этаже какая-то другая Лена имеется. Побывав и у нее, счастливый немоногамный Витя, нажав 11 раз на кнопку "+7" попадет вовсе не к себе домой на 96-й этаж... Уж-ж-жос :-) Наша бедная девочка-блондинко и вообще может спиться от горя и неверия в то, что Витя когда-нибудь исправится. Разве что, кнопки в лифте сотрутся от частого (зло)употребления... Или пенсионеры этого дома забастуют и лифт сломают... Или же Витя, устав и окончательно запутавшись в своих беспорядочных отношениях, в конечном итоге получит по морде от ревнивого мужа какой-то очередной (но не нашей) Лены...  Впрочем, это совсем уже другая история...

ответ: Смогут, но неопределенно у них все как-то получается... Не по людски :-)