Функция f(x) = 1/cos^2(x) интегрирована на отрезке : a) [-п/2 ; п/2] б) [0 ; п ] в) [-п/4 ; 2п ] г) [п/4 ; 2п]

Что значит интегрирована? Это значит, что она определена и монотонна на данном отрезке. Что такое определена? Это значит, что все значение, что можно подставить в уравнение, будут принадлежать отрезку... Итак... поехали...подставляем крайние значения.

f(-П/2) = 1/сos^2(П/2) = 1/0  - неверно, так как косинус тут равен нулю...

f(0)=1/1=1. 1 удовл отрезку [0 ; п]

f(П)= 1/1 = 1... значит, ответ - б

Функция интегрируема, если cos x не равен нулю.

Функция неинтегрируема, если cos x =0.

cos x = 0 при x = п/2 + пk

Проверяем

A) [-п/2 ; п/2]

на краях этого отрезка (x=-п/2 , x=п/2) cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

Б)  [0 ; п ]

в середине этого отрезка (x=п/2)   cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

В) [-п/4 ; 2п ]

внутри этого отрезка (x=п/2,x=3п/2,x=5п/2)   cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

Г) [п/4 ; 2п]

внутри этого отрезка (x=п/2,x=3п/2,x=5п/2)   cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

ответ: Функция НЕинтегрируема ни на каком отрезке.

Хотя, возможно, имеется в виду теорема о том, что

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Формально под эту теорему подпадает случай А).

(Но что делать с границами отрезка? Если бы вместо отрезка был интервал (-п/2;п/2), то на этом интервале функция была бы интегрируема в любой точке, и вопросов бы не было и интеграл по интервалу можно было рассматривать, как предельные переходы к границам интервала.

Можно конечно, так же считать и для отрезка [-п/2;п/2], но это очень сомнительное  допущение.)

Так что ответ может быть и А).