Докажите что при любом целом b значение выражения b в кубе +35b кратно 6

Вместо b будем подставлять различные остатки при делении числа b на 6:

*Примечание: когда мы определяли, что число делится на 6, мы видели, что оно делится на 2 (заканчивается на четную цифру) и на 3 (сумма цифр делится на 3), значит число делится на 6.

1) Остаток 0:

кратно 6.

2) Остаток 1:

кратно 6.

3) Остаток 2:

кратно 6.

4) Остаток 3:

кратно 6.

5) Остаток 4:


6) Остаток 5:

кратно 6.

Мы рассмотрели все остатки при делении числа b на 6, во всех случаях выражение делилось на 6, значит оно делится на 6 при любых b

Доказать,  что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.

Докажем методом математической индукции.

1) Пусть b=1, тогда  

1³ + 35·1 = 36

36 : 6 = 6  =>  

36 делится нацело на 6, значит, при b=1 утверждение верно.  

2) Допустим, что при b=k  утверждение верно, т.е.

значение выражения (k³ +35k)  делится нацело на 6.

3) Проверим справедливость утверждения при b=k+1.

   (k+1)³+35·(k+1) =

= (k³ + 3k² + 3k + 1) + 35k + 35 =

= (k³+35k) + (3k² + 3k) + 36 =

= (k³+35k) + 3k(k+1)  + 36

- Первое слагаемое (k³+35k)  делится на 6 без остатка по допущению из второго пункта.

- Второе слагаемое 3k(k+1)   делится на 6 без остатка, т.к.

среди его множителей есть множители числа 6, это 3 и 2.

Одно из двух последовательных чисел k и (k+1) будет четным.

(Если k нечетно, следующее за ним (k+1) четно.

И наоборот, Если k четно, следующее за ним (k+1) нечетно.)

- Третье слагаемое 36  делится на 6 без остатка.

Если каждое слагаемое делится на 6 без остатка, то и вся сумма   (k+1)³+35·(k+1) делится на 6 без остатка. .

Таким образом доказано утверждение о том, что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.