Доказать, что выражение n^3+3n^2+8n+82 не делится на 3

Объяснение:

Число n либо делится на 3, либо дает остатки 1, 2(равносильно остатку -1) при делении на 3. Если n делится на 3, то все одночлены кроме 82 делится на 3, то есть многочлен не делится на 3. Предположим что n имеет остатки +-1. n=3k+-1. Любоe выражении вида: n^r=(3k+-1)^r ,где r -натуральное число ,дает остаток (+-1)^r при дилении на 3. Тк все члены в биноме (3k+-1)^r кроме последнего помножены на какую либо степень числа 3. Это очень простое правило, которое почему то понимают единицы. Найдем остаток от деления на 3 нашего многочлена, когда: n=3k+-1.(остаток от деления 82 на 3 равен 1)

(+-1)^3+3*(+-1)^2 +8*(+-1) +1= 13 или -5 ,то есть сумма остатков не кратна 3,а значит и общий остаток от деления на 3 не равен, то есть выражение не делится на 3. ЧТД.