*доказать, что число 0. в котором выписаны подряд все натуральные числа, не является рациональным. 8 клас, повышенной сложности.

Для начала:

Лемма:
Любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби (при этом считаем, что число, представимое в виде конечной десятичной дроби представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби, где период - (0))

Доказательство:
Пусть есть некоторое рациональное число , где k - целое число, а l - натуральное. При вычислении бесконечной десятичной дроби данного числа мы делаем следующее:
1) Считаем целую часть от деления текущего числителя на знаменатель (и выписываем в данную позицию)
2) Числитель заменяется остатком при делении предыдущего числителя на знаменатель
3) Числитель умножается на 10 и переход к действию 1)

Так как число остатков при делении на l конечно (возможно ровно l различных остатков), то на определенном шаге на действии 2) окажется то же число, что было ранее. Но ввиду особенности действий (умножение на одно и то же число, делении на одно и то же число) будет повторяться тот же набор чисел, что был между двумя данными одинаковыми - возникает период.

Доказано.

Теперь докажем, что число из условия нельзя представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Предположим обратное:

Пусть 
То есть период состоит из m цифр. Но так как в данном числе подряд выписаны все натуральные числа, то с некоторой позиции выписаны m-значные числа  100...0, 100...01, 100..02
Начало периода могло попасть на любую цифру первого числа (но точно пришлось на какую-то из них), как нетрудно убедиться, вне зависимости от того, на какую цифру пришлось начало периода, весь период состоит ровно из 1 единицы и m-1 нуля, в то время, как следующий за ним содержит 2 единицы и m-2 нуля (а должны быть одинаковыми). Противоречие.
Значит данное число иррациональное

(был отброшен вариант с периодом длины 1, так как иначе после некоторого числа p одинаковых цифр все равно будет идти другая цифра)