Дана функция: f(x)= x^3-3x^2+4найдите: а) её точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания в) наибольшее и наименьшее её значения на промежутке [0; 4]

1.находим производную
y'=3x^2-6x
2.приравниваем производную к нулю
3x^2-6x=0
выносим х за скобку
х(3х-6)=0
х=0
(3х-6)=0
х=2
3.рисуем координатную ось и там отмечаем точки 0 и 2. точка 0 максимум точку 2 минимум.   хmax=0 xmin=2  
yвозрастает х∈ (-8;0]в объединение [2; +8)   (8- это знак бесконечности)
yубывает х∈ [0;2]

Хорошо, я с удовольствием помогу тебе разобраться с этой функцией.

Дана функция: f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

а) Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Производную можно найти, используя правило дифференцирования степенной функции:

f'(x) = 3x^2 - 6x

Теперь приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:

3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два варианта: либо x = 0, либо x - 2 = 0. Решая эти уравнения, мы находим две точки, при которых производная равна нулю: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нужно проанализировать знак производной в окрестности этих точек.

Давай посмотрим на знак производной в интервалах (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞):

Подставляем произвольные значения из каждого интервала в производную:

-∞ < x < 0: f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 (т.к. x^2 положительное, и умножение на 3 тоже даст положительное число)

0 < x < 2: f'(x) = 3x^2 - 6x < 0 (т.к. x^2 положительное, и отрицательное число, умноженное на положительное, даст отрицательное число)

2 < x < +∞: f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 (т.к. x^2 положительное, и умножение на 3 тоже даст положительное число)

Таким образом, у нас есть следующая картина знаков производной и соответствующие интервалы возрастания и убывания функции:

(-∞, 0): убывание
(0, 2): возрастание
(2, +∞): убывание

б) Теперь найденные значения x = 0 и x = 2 являются границами интервалов возрастания и убывания. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, можно подставить произвольные значения из каждого интервала в функцию и проверить их знак.

(-∞, 0): f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 < 0 (т.к. x^3 и -3x^2 положительные, а сложение положительного числа и отрицательного даёт отрицательное число)

(0, 2): f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 > 0 (т.к. x^3 и -3x^2 положительные, а сложение положительного числа и отрицательного даёт положительное число)

(2, +∞): f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 < 0 (т.к. x^3 и -3x^2 положительные, а сложение положительного числа и отрицательного даёт отрицательное число)

Таким образом, у нас есть следующая картина промежутков возрастания и убывания:

(-∞, 0): убывание
(0, 2): возрастание
(2, +∞): убывание

в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0, 4], нужно найти значения функции в начальной точке, на точках минимума и максимума, и в конечной точке, а затем выбрать наибольшее и наименьшее значение из полученных значений.

Значение функции в начальной точке (x = 0):

f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4

Значение функции в точке минимума (x = 2):

f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Значение функции в точке максимума (x = 0):

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [0, 4] равно 20, а наименьшее значение равно 0.

Надеюсь, что я хорошо объяснил тебе решение данной задачи! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.