Биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.
Очень

Дано:

∆ ABC,

CD — биссектриса и высота.

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

Проведем анализ задачи.

Какой треугольник — равнобедренный? Треугольник, у которого две стороны равны. Значит, нам нужно доказать, что две стороны ∆ ABC равны: AC=BC.

Равенство сторон вытекает из равенства треугольников. Следовательно, задача сводится к доказательству равенства двух треугольников.

Докажем, что ∆ADC и ∆ BDC равны.

Что нам известно об этих треугольниках?

Поскольку CD — биссектриса ∆ ABC, то она делит угол ACB на два равных угла. Значит, углы ACD и BCD равны.

Так как CD — высота ∆ ABC, то она образует со стороной AB два прямых угла.

Таким образом, у треугольников ADC и BDC уже есть две пары равных углов.

сторона CD — общая.

Три пары равных элементов для доказательства равенства треугольников есть.

Переходим непосредственно к доказательству.

Доказательство:

Рассмотрим ∆ ADC и ∆ BDC.

1) ∠ACD=∠BCD (так как CD — биссектриса треугольника ABC по условию).

2) ∠ADC=∠BDC=90º (так как CD — высота треугольника ABC по условию).

3) Сторона CD — общая.

Следовательно, ∆ ADC = ∆ BDC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике совпадают биссектрисы и высоты, проведенные к каждой из сторон, то такой треугольник — равносторонний (по доказанному выше, у него каждый две стороны равны между собой, а значит, все три стороны равны).

а что даказать та нужно

Объяснение: