Чому в одному випадку ми кажемо рима а в іншому -риму

Залежить від прикметника, з яким узгоджуємо цей іменник.
Точніше це відмінок.
(кого, чого?) - Рима - Родовий відмінок
(кому, чому?) - Риму- Давальний відмінок