Разобрать предложение и расставить запятые приблизив лист бумаги к лампе и пытаясь понять неразборчивый почерк он с волнением начал читать письмо

Предложение простое, осложнено двумя однородными обособленными обстоятельствами, выраженными деепричастными оборотами:
1.приблизив лист бумаги к лампе. 
2.пытаясь понять неразборчивый почерк.

Так как обороты однородны (обозначают добавочное действие к одному сказуемому /начал читать/), соединены сочинительным союзом, между ними запятую не ставим, но в конце второго оборота мы должны поставить запятую, определив его границу:
приблизив лист бумаги к лампе и пытаясь понять неразборчивый почерк,  он с волнением начал читать письмо.
Основа: он(подлежащее) начал читать (составное глагольное сказуемое).