Пишутся ли в предложение союзы слитно? за(тем) я побежал по тропинке,что(бы) догнать друга.

Да, они все пишутся слитно затем и чтобы

Да, пишутся слитно.
Слово "затем" является союзом, поэтому пишется слитно; если бы это был предлог с указательным местоимением, допустим, "за тем деревом", то писалось бы раздельно.
Союз чтобы пишется слитно, потому что частицу "бы", в данном случае пишущуюся слитно, нельзя опустить или поменять её местоположение в предложении.