Писаться и переписываться это синонимы?

Нет, эти слова синонимами не являются. Данные слова имеют все-таки разное значение.Во-первых, глагол /писаться/ - безобъектно-возвратный; значение, продиктованное словообразующим постфиксом /ся/, подразумевает постоянный признак объекта /Ср: В слове "желудь" пишется буква "ё" после щипящей/.
Глагол /переписываться/, в свою очередь, взаимно-возвратный, в его значении заложено действие, равноценно направленное на два субъекта сразу /Ср: С твоим отцом мы часто переписывались/.
Таким образом, зная, что синонимы - это слова одной части речи и очень близкие по значению, мы можем говорить о том, что возвратные глаголы /писаться и переписываться/, несмотря на общий корень, синонимами не являются.

Да, это синонимы.

Сравни:

1) Несколько лет назад я писался с ней крайне редко.

2) Несколько лет назад я переписывался с ней крайне редко.

Смысл предложений одинаков => эти слова - синонимы.