Откажут - мигом утешался, изменят - рад был отдохнуть. Почему ставится тире?

Это бессоюзное сложное предложение, состоит из двух частей. В обеих частях тире ставится, так как их первые предложения выражают значение условия и перед ними можно поставить "если":

1. [Если] откажут – мигом утешался.

2. [Если] изменят – рад был отдохнуть.

Тире ставится между частями сложного предложения, если они связаны по смыслу как придаточное( первое) и главное( второе) , но между ними нет подчинительного союза.