Определить часть речи и синтаксическую роль выделенных слов С рассветом спокойно и крепко заснуло дитя, и щечки его заалели.(Н. Некрасов.)
Сегодня в отделении спокойно. Больные спят, тяжелых нет.(В. Дягилев.)
Бойко шла торговля садами на окраине города Суздаля.(В. Солоухин.)
Все было спокойно - толпа не ушла.(Н. Некрасов.)
Чисто в невысоких горницах с потертыми половичками...(В. Панова.)
Мать как-то спокойно сидела, казалось, не веря еще и теперь, чтоб дочка уехать посмела...(Н. Некрасов.)

В предложении "С рассветом спокойно и крепко заснуло дитя, и щечки его заалели" слова "спокойно" и "заалели" являются наречиями. Они обозначают обстоятельства способа действия. Слово "спокойно" описывает способ засыпания, а слово "заалели" указывает на наступление каких-то изменений с щечками.

Во втором предложении "Сегодня в отделении спокойно" слово "спокойно" также является наречием, обозначающим обстоятельство. В данном случае оно указывает на состояние в отделении, описывая его.

В третьем предложении "Бойко шла торговля садами на окраине города Суздаля" слово "Бойко" является существительным и выступает в роли подлежащего. Слово "шла" является глаголом и выполняет функцию сказуемого. Имя существительное "торговля" является существительным и выполняет функцию дополнения к глаголу "шла". Оно отвечает на вопрос "что делала Бойко?" и передает смысл действия. Слово "садами" является существительным, оно выполняет функцию обстоятельства места, отвечает на вопрос "где шла торговля?". Слово "на" является предлогом, он устанавливает связь между существительным "садами" и городом Суздалем.

В четвертом предложении "Все было спокойно - толпа не ушла" слово "спокойно" является наречием, обозначающим обстоятельство и описывающим состояние. Слово "толпа" является существительным, выполняющим функцию подлежащего. Слово "не" является отрицательной частицей. Слово "ушла" является глаголом и выполняет функцию сказуемого.

В пятом предложении "Чисто в невысоких горницах с потертыми половичками" слово "чисто" является наречием и обозначает обстоятельство. Слово "невысоких" является прилагательным и описывает горницы. Слово "с" является предлогом и указывает на связь существительного "половичками" с предшествующей частью предложения. Слово "потертыми" является прилагательным и указывает на состояние половичек. Слово "половичками" является существительным, выполняющим функцию дополнения и отвечающим на вопрос "что чисто?".

В шестом предложении "Мать как-то спокойно сидела, казалось, не веря еще и теперь, чтоб дочка уехать посмела" слово "как-то" является наречием и обозначает обстоятельство. Слово "спокойно" является наречием, обозначающим обстоятельство. Слово "сидела" является глаголом и выполняет функцию сказуемого. Слово "казалось" является глаголом и выполняет функцию сказуемого. Слово "веря" является глаголом, выполняющим функцию обстоятельства цели. Слово "еще" является наречием и указывает на добавление к уже существовавшей ситуации. Слово "и" является союзом и указывает на одновременное наличие двух действий. Слово "теперь" является наречием и указывает на текущий момент времени. Слово "чтоб" является союзом, объединяющим две части предложения. Слово "дочка" является существительным и выполняет функцию подлежащего. Слово "уехать" является инфинитивом и выполняет функцию сказуемого. Слово "посмела" является глаголом и выполняет функцию сказуемого.