Объясните правописание слова именинник.

Для того, чтобы не запутаться в количестве и месторасположении согласных "н" в именах существительных "именины", "именинник" и "именинница", нужно выделить основу в самом коротком из этих слов. А дальше пойдёт как по маслу:

Именины.

Основа - "именин". Здесь совершенно очевидна одна буква "н" в обеих позициях. Суффиксы "ен" и "ин" не позволяют писать две.

Именинник.

К той же самой основе - "именин-" присоединяется справа суффикс "-ник", и согласная "н" благодаря этому удваивается.

Именинница.

К основе "именин-" присоединяется "женский" суффикс "-ниц", который тоже начинается с "н" и удваивает эту согласную.