Нужна ли запятая перед союзом и? почему? я побежал по дороге зажав записку в руке и через 5 минут уже был на станции.

Нет не нужна, потому что тут одна грамматическая основа: я побежал и был. Удачи!

Я побежал по дороге , зажав записку в руке и через 5 минут уже был на станции.

Нет,запятая не нужна,так как союз "и" соединяет два однородных сказуемых.

Удачи!:)