Ккаким частям речи относится слова ему, другие

Слова "ему" и "другие" - это местоимения. Ему - личное, а Другие - определительное.

ДРУГИЕ – определительное местоимение в форме именительного/винительного падежа множественного числа, его начальная форма – ДРУГОЙ. Это местоимение-прилагательное (Настали другие времена), хотя часто употребляется и как местоимение-существительное (На смену нам придут другие). Почему это местоимение? Потому что:
отвечает на вопросы КАКИЕ? (первый мой пример) и КТО? (второй пример);
указывает на признак (первый пример) и на предмет (второй пример), но не называет их.
ЕМУ – это личное местоимение ОН или ОНО в дательном падеже. Это местоимение-существительное, так как отвечает на вопрос КОМУ? или ЧЕМУ? (начальные формы – на вопрос КТО? или ЧТО?) и указывает на предмет, но не называет его:
► Кот пришёл – налей ему молока.
► Дитя плачет – дай ему соску.