Какой частью предложения является порода собаки, к примеру борзая или гончая, определением или дополнением?

Определением. Потому что это прикладка.

Смотря в каком контексте, если задаётся вопрос (какой, какая, какое ?), то это определение, а если задаётся падежный вопрос , то дополнителнение. Скорее всего определение, так как, это прилагательное