Как правильно пишется "в продолжение месяца" или "в продолжении месяца"?

Написание зависит от контекста. Если это употребляется как существительное в предложном падеже, то будет оканчиваться на -и. В случае, если это производный предлог, на конце будет писаться -е.
Вероятнее всего, имеется в виду промежуток времени, поэтому это будет предлогом. Следовательно, правильно пишется "В продолжениЕ месяца". Смотрите на общий смысл и контекст.