Докажите, что слово впрочем является вводным.

Вводные слова могут иметь следующее значение:

1. Выражать отношение говорящего к его сообщению. Такое значение имеют вводные слова к счастью, к сожалению, к ужасу, к удивлению и др., а также более сложные вводные конструкции (ко всеобщему удивлению, к ужасу своему и т.п.).

К счастью, в стороне блеснул тусклый свет и мне найти другое отверстие наподобие двери.
(М.Ю. Лермонтов. «Герой нашего времени»)

2. Выражать уверенность или неуверенность говорящего в истинности сообщения. Такое значение имеют вводные слова конечно, несомненно, очевидно, без всякого сомнения, разумеется, должно быть, по всей вероятности, видно, возможно, вероятно, наверно, может быть, кажется, казалось и др.

Всякий год их обожатели сменяются новыми, и в этом-то, может быть, секрет их неутомимой любезности.
(М.Ю. Лермонтов. «Герой нашего времени»)

3. Указывать на источник информации или мнения: по моему мнению, по-моему, по-твоему, говорят, по мнению ..., по словам ..., по данным ..., по сведениям ..., по сообщениям ..., мол, дескать и др.

Мы приближались к городку, где, по словам бородатого коменданта, находился сильный отряд, идущий на соединение к самозванцу.
(А.С. Пушкин. «Капитанская дочка»)

4. Указывать на связь мыслей и последовательность изложения: во-первых, во-вторых и т.д., с одной стороны, с другой стороны, итак, значит, следовательно, таким образом, кстати, главное, например, наоборот, напротив, в общем, в частности, кроме того и др.

Итак, мы спускались с Гуд-горы в Чертову долину...
(М.Ю. Лермонтов. «Герой нашего времени»)

5. Характеризовать выражения мысли: словом, одним словом, короче говоря, грубо говоря, собственно говоря, так сказать и др.

Собственно говоря, хвастаться нечем, комбинация простенькая.
(И. Ильф, Е. Петров. «Золотой теленок»)

6. Привлекать внимание собеседника: видишь (ли), видите (ли), понимаешь (ли), знаешь (ли), пойми, послушай, вообразите, представьте, согласитесь, скажем, допустим, предположим и др.

А то мы, знаете, не здешние, не в курсе дел.
(И. Ильф, Е. Петров. «Золотой теленок»)

7. Содержат оценку меры того, о чем говорится: самое большее, самое меньшее, по крайней мере и др.

Работы оставалось еще, по крайней мере, на две недели; во всё продолжение этого времени Порфирий должен был чистить меделянскому щенку пуп особенной щеточкой и мыть его три раза на день в мыле.
(Н.В. Гоголь. «Мёртвые души»)

Примечание. Выражение по крайней мере не всегда является вводным словом.

8. Характеризуют степень обычности того, о чем говорится: бывает, бывало, случается, по обычаю, по обыкновению и др.

С Пушкиным на дружеской ноге. Бывало, часто говорю ему: «Ну что, брат Пушкин?»
(Н.В. Гоголь. «Ревизор»)

9. Усиливают экспрессивность высказывания: по совести, по справедливости говоря, по правде (сказать), правда, смешно сказать, не в укор будь сказано, признаюсь, между нами и др.

А Бигусов теперь принц, родственник микадо и к тому же еще, между нами говоря, получил наличными миллион иен.
(И. Ильф, Е. Петров. «Золотой теленок»)
Здесь между нами говоря — не обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом, а вводная конструкция.

У вводных слов могут быть и другие оттенки значения.

Следует запомнить список слов и словосочетаний, которые, как правило, не являются вводными:

авось, аналогично, бишь, буквально, будто, вдобавок, в довершение, вдруг, ведь, в конечном счёте, вот, в основном, вроде, вряд ли, всё-таки, даже, едва ли, затем, именно, исключительно, как будто, как бы, как раз, между тем, небось, однажды, почти, поэтому, приблизительно, притом, просто, решительно, словно, тем более, тем не менее, то есть, якобы.

Ей было назначено жалованье, которое никогда не доплачивали; а между тем требовали от нее, чтоб она одета была, как и все, то есть как очень немногие.
(А.С. Пушкин. «Пиковая дама»)
Выражения между тем и то есть не являются вводными и поэтому не обособляются.

Тем не менее из всех этих рассказов никакого ясного результата не выходило.
(М.Е. Салтыков-Щедрин. «История одного города»)
Выражение тем не менее не является вводным и поэтому не обособляется.