День рождения и дни рождения почему в этих словосочетаниях зависимое слово употреблено в одинаковой форме.

В русском языке, как мы все прекрасно помним со времён начальной школы, существуют три образования словосочетаний: согласование, управление и примыкание. В том, что слова "День рождения" являются словосочетанием (причём, предельно устойчивым), ни у кого нет сомнений.

Любое словосочетание (а тем более - устойчивое) является сочетанием слов, одно из которых подчинено другому. Иначе мы увидим не словосочетание, а обычный ряд слов, как в словаре орфографическом.

Если мы применим вид: "День Рождение", то не обнаружим вообще никакой связи. То есть, полностью разомкнём два этих слова, разрушим между ними связь.

Подобные ляпсусики: "День Святой Валентин", "День Учитель" и так далее.

Только "День рождения", и никак иначе. Типичное и классическое управление