Царь пустыни определить, что это? возможно ли, что это перифраз? или это, скорее всего, эпитет?

Перифраз  является заменой прямого названия предмета или явления, например,  описательным оборотом. Например, лев - это "царь зверей".
И "царь пустыни" это перифраз.