1. -ы- (-и-) после шипящих и -ц- и после приставок на согласный. 2. деепричастный оборот. обособление.

И пишется- 
1)в корне существительных: 
цилиндр, цинга, цифра 
2) в словах на -ция: 
кульминация, акция и т. д
Ы пишется в: 
1)окончания слов: 
пловцы, птицы, смуглолицый 
2)суффикс -ын- (в основном это фамилии): 
сестрицын 
исключения: цыган на цыпочках цыкнул цыпленку цыц (так легче запоминается)
Ну, а ЖИ-ШИ - ПИШИ С БУКВОЙ И
Обстоятельства, выраженные деепричастиями (к деепричастию можно задать морфологические вопросы что делая? что сделав?) и деепричастными оборотами (то есть деепричастиями с зависимыми словами), как правило, обособляются независимо от места, которое они занимают по отношению к глаголу-сказуемому.
Например:Широко раскинув руки, спит чумазый бульдозерист .
И тут к обрыву, оставив свой бульдозер, подбежал Николай