1)никем непроверенный маршрут- почему никем пишется слитно? 2) недостаёт терпения- почему недостаёт пишется слитно? 3)негромко всхлипнула- почему негромко пишется слитно? 4)недорогой, а красивый ситец- почему недорогой пишется слитно?

1)Никем непроверенный маршрут- почему никем пишется слитно? (это местоимение,  если бы стоял предлог то писали бы раздельно Например: ни с кем-пишем в три слова
2) Не достаёт терпения- почему недостаёт пишется слитно? (вообще-то это глагол. -не- с глаголами пишем раздельно)
3)Негромко всхлипнула- почему негромко пишется слитно?(можно подобрать синоним :тихо.неслышно)
4)Не дорогой, а красивый ситец- почему не дорогой пишется слитно?(вообще то пишем раздельно, потому что есть противопастовление . с союзом -а-)

1)Никем непроверенный маршрут- потому что это одно слово, если б было ни с кем, то писалось бы раздельно
2) Недостаёт терпения- потому что мы не можем сказать "достаёт терпения"
3)Негромко всхлипнула- потому что это наречие, а если нет пяти слов и а, то всегда пишется с НЕ слитно 
4)Недорогой, а красивый ситец- потому что нет противопоставления.