Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння yy"=(y')^2-(y')^3

Введем функцию t(y) = y'(x). Тогда t' = d(y')/dy = (d(y')/dx) / (dy/dx) = y''/y' = y''/t; y'' = t * t'.

Получим дифференциальное уравнение на t:
y t t' = t^2 - t^3

Запомним, что мы могли потерять решение t = 0, и разделим на t:
y t' = t - t^2

Получилось уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем:


В ходе решения ещё могло потеряться решение с t = 1. Возвращаемся к y(x):


Это тоже уравнение с разделяющимися переменными.


Возвращаемся к потерянным решениям:

1) t = 0: y' = 0, y = C
Подставляем в уравнение: C * 0 = 0 - 0 – подходит!
y = C – решение.

2) t = 1: y' = 1, y = x + C
Подставляем в уравнение: (x + C) * 0 = 1^2 - 1^2 – подходит! 
y = x + C – решение, но оно получается из уже выписанного решения при C1 = 0.