Знайти точки перетину медіан і висот трикутника якщо дано його висоти з координатами A(-4;-1) B(-1;-3) C(2;0)

Даны координаты вершин A(-4;-1) B(-1;-3) C(2;0).

Найти точки пересечения медиан и высот треугольника АВС.

1) Точка F пересечения медиан треугольника имеет следующие координаты:

x(F) = (x1+x2+x3)/3, y(F) = (y1+y2+y3)/3,

где A(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3) − вершины треугольника ABC.  

Подставим координаты точек и получаем ответ.

х(F) = (-4+(-1)+2)/3 = -1,

у(F) = (-1+(-3)+0)/3 = -4/3.

ответ: точка пересечения медиан F(-1; (-4/3)).

2) Находим уравнения сторон, для чего определяем векторы АС и ВС.

Вектор АС = ((2-(-4)); (0-(-1)) = (6; 1).

Уравнение АС: (x + 4)/6 = (y + 1)/1 каноническое.

                         x – 6y – 2 = 0 общее.

Вектор ВС = ((2-(-1)); (0-(-3)) = (3; 3).

Уравнение ВС: (x + 1)/ 6 = (y + 3)3 каноническое.

                         3x – 6y – 15 = 0 общее или, сократив на 3

                         x – 2y –5 = 0.

Теперь находим уравнения высот к этим сторонам.

Уравнение высоты BH.

Она перпендикулярна стороне AС.

Вектор AС найден и равен (6; 1).

Для прямой BH он будет нормальным вектором.

Составляем уравнение прямой по точке В(-1; -3) и нормальному вектору (6; 1).

Уравнение BH: 6*(x + 1) + 1*(y + 3) = 0,

                          6x + 6 + y + 3= 0,                            

                         6x + y + 9 = 0.

Уравнение высоты AI.

Она перпендикулярна стороне BС.

Вектор BС найден и равен (3; 3).

Для прямой AI он будет нормальным вектором.

Составляем уравнение прямой по точке A(-4; -1) и нормальному вектору (3; 3).

Уравнение AI: 3*(x + 4) + 3*(y + 1) = 0,

                          3x + 12 + 3y + 3= 0,                            

                         3x + 3y + 15 = 0 или, сократив на 3:

                           x + y + 5 = 0.

Координаты точки G пересечения высот найдём, решив систему:

{6x + y + 9 = 0

{ x + y + 5 = 0 вычтем из первого уравнения второе.

5x       + 4 = 0, отсюда х = -4/5 = -0,8.

у = -х – 5 = -(-0,8) – 5 = -4,2.

ответ: точка пересечения высот G(-0,8; -4,2).