Знайти площу фігури обмежену лініями завдання 8 a)y=cosx,x=-π/2,x=π/2

b)y=x^2-3x,y=0,x=0,x=2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, мы можем воспользоваться методом разбиения на прямоугольники и подсчетом суммы их площадей.

a) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), x = -π/2 и x = π/2:

Для начала мы можем построить график функции y = cos(x), чтобы визуализировать форму фигуры. Заметим, что функция y = cos(x) представляет собой график косинусной функции, который является периодической функцией, повторяющейся через определенные интервалы.

Подходящим способом для нахождения площади этой фигуры будет разбиение ее на бесконечно много маленьких прямоугольников толщиной dx.

Для каждого прямоугольника, мы можем найти его ширину dx и высоту, которая будет равна значению функции y = cos(x) в соответствующей точке x. Площадь каждого прямоугольника будет равна произведению его ширины и высоты.

Итак, для нахождения площади этой фигуры, нам нужно найти сумму площадей всех маленьких прямоугольников, то есть воспользоваться определенным интегралом:

S = ∫[a, b] y dx,

где [a, b] - интервал, на котором находятся границы фигуры (в данном случае [-π/2, π/2]).

В нашем случае, функция y = cos(x) уже задана, поэтому мы можем просто вычислить данный интеграл.

∫[a, b] cos(x) dx = sin(x) ∣[a, b] = sin(π/2) - sin(-π/2) = 1 - (-1) = 2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), x = -π/2 и x = π/2, равна 2.

b) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 3x, x = 0 и x = 2:

Сначала построим график функции y = x^2 - 3x. Заметим, что это парабола с вершиной в точке (3/2, -9/4), которая открывается вверх.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этой параболой и осями x и y, мы также можем воспользоваться методом разбиения на прямоугольники.

Идея здесь аналогична предыдущему примеру. Мы будем разбивать фигуру на маленькие прямоугольники шириной dx и будем находить сумму площадей этих прямоугольников.

Для каждого прямоугольника, мы можем найти его ширину dx и высоту, которая будет равна значению функции y = x^2 - 3x в соответствующей точке x. Площадь каждого прямоугольника будет равна произведению его ширины и высоты.

Таким образом, для нахождения площади этой фигуры, нам нужно вычислить определенный интеграл:

S = ∫[a, b] (x^2 - 3x) dx.

Подставив значения a = 0 и b = 2, мы можем вычислить этот интеграл:

∫[0, 2] (x^2 - 3x) dx = (1/3) x^3 - (3/2) x^2 ∣[0, 2] = (2/3)^3 - (3/2) (2)^2 = 8/3 - 12/2 = 8/3 - 18/3 = -10/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 3x, x = 0 и x = 2, равна -10/3.

Важно отметить, что данная площадь может быть отрицательной. Это связано с тем, что парабола, ограничивающая фигуру, находится ниже оси x в интервале [0, 2]. Отрицательное значение площади означает, что фигура лежит ниже оси x и имеет отрицательную площадь относительно оси x.