Знайдіть найменше цiле значення параметра а, при якому рiвняння √x² - 5x +√x²-9x+20 = √а×√х-5 має два корені.

Для того чтобы уравнение имело два корня, выражение под корнем в левой части уравнения должно быть неотрицательным и дискриминант уравнения должен быть положительным.

Рассмотрим выражение под корнем в левой части уравнения: √x² - 5x + √x² - 9x + 20.

Для того, чтобы это выражение было неотрицательным, оба его слагаемых должны быть неотрицательными. Заметим, что оба слагаемых являются квадратными трехчленами.

x² - 5x должно быть неотрицательным:

Решаем неравенство x² - 5x ≥ 0.

Факторизуем его: x(x - 5) ≥ 0.

Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 0 и x ≥ 5.

x² - 9x + 20 должно быть неотрицательным:

Решаем неравенство x² - 9x + 20 ≥ 0.

Факторизуем его: (x - 4)(x - 5) ≥ 0.

Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 4 и x ≥ 5.

Итак, из двух условий выше, интервал, в котором оба условия выполняются, это x ≥ 5.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: √а × √x - 5.

Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным.

Дискриминант уравнения √а × √x - 5 = 0 равен: D = 25 - 4а.

D > 0

25 - 4а > 0

4а < 25

а < 25/4

Таким образом, для того чтобы уравнение имело два корня, параметр а должен быть меньше 25/4.

Наименьшим целым значением параметра а, удовлетворяющим этому условию, будет а = 6.

При а = 6, уравнение √x² - 5x + √x² - 9x + 20 = √6 × √x - 5 будет иметь два корня при x ≥ 5.

Пошаговое объяснение: