Завтра найдите экстремумы функции : y= x³-3x+2

Y`=3x²-3=3(x-1)(x+1)=0
x=-1  x=1
       +                  _                  +

               -1                      1
             max                    min

Добрый день!

Найдем экстремумы функции y = x³ - 3x + 2. Для этого нам понадобится производная функции.

1. Найдем производную функции y по x:
y' = 3x² - 3.

2. Решим уравнение y' = 0 для поиска стационарных точек (точек, в которых значение производной равно нулю):
3x² - 3 = 0.

3. Решим полученное уравнение:
3x² = 3,
x² = 1,
x = ±1.

4. Получили две точки: x = 1 и x = -1. Это наши кандидаты на экстремумы.

5. Теперь проверим, являются ли эти точки экстремумами или не экстремумами. Для этого построим таблицу знаков производной справа и слева от каждой точки. Знак производной показывает, является ли функция возрастающей (+) или убывающей (-) в данной точке.

Исследуем точку x = 1:
Подставим значение, меньше 1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении слева от x = 1.

Подставим значение, больше 1, например, x = 2, в производную:
y'(2) = 3(2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении справа от x = 1.

Получили, что функция убывает слева от x = 1 и возрастает справа от x = 1. Значит, точка x = 1 является локальным минимумом функции.

Исследуем точку x = -1:
Подставим значение, меньше -1, например, x = -2, в производную:
y'(-2) = 3(-2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении слева от x = -1.

Подставим значение, больше -1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении справа от x = -1.

Получили, что функция возрастает слева от x = -1 и убывает справа от x = -1. Значит, точка x = -1 является локальным максимумом функции.

Таким образом, экстремумы функции y = x³ - 3x + 2 - это локальный минимум при x = 1 и локальный максимум при x = -1.