Завдання 2. Задано координати вершин трикутника ABC . Знайти:
1) загальне рівняння та довжину медіани СК;
2) загальні рівняння прямих ABі AC , та кутові коефіцієнти цих прямих;
3) рівняння прямої AB у відрізках на осях;
4) внутрішній кут A;
5) загальне рівняння висоти CD та її довжину;
6) рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно прямій AC .
A(14;−4), B(2;5), C(18;18).

Задано координати вершин трикутника ABC A(14;−4), B(2;5), C(18;18). .

Знайти:

1) загальне рівняння та довжину медіани СК;

Находим координаты точки К как середину стороны АВ.

К = (((14+2)/2); ((-4+5)/2) = (8; 0,5).

Вектор СК = (8-18; 0,5-18) = (-10; -17,5).

Уравнение СК: (х - 18)/(-10) = (у - 18)/(-17,5),

                         -17,5х + 18*17,5 = -10у + 175,

                         7х - 4у - 54 = 0 общее,

                        у = (7/4)х - (54/4) или у = (7/4)х - (27/2) с угловым                                                 коэффициентом.

Длина СК равна √((-10)² + (-17,5)²) = √(100 + 306,25) = √406,25 ≈ 20,1556.

2) загальні рівняння прямих ABі AC , та кутові коефіцієнти цих прямих;

Точки A(14;−4), B(2;5).

Находим вектор АВ = (2-14; 5-(-4)) = (-12; 9).

Составляем каноническое уравнение АВ.

АВ: (х - 14)/(-12) = (у + 4)/9. Приводим к общему знаменателю.

9х - 126 = -12у - 48 и получаем уравнение общего вида:

9х + 12у - 78 = 0 или, сократив на 3,

АВ: 3х + 4у - 26 = 0.

Угловой коэффициент к = (-3/4).

Точки A(14;−4), C(18;18).

Находим вектор АС = (18-14; 18-(-4)) = (4; 22).

Составляем каноническое уравнение АС.

АС: (х - 14)/4 = (у + 4)/22. Приводим к общему знаменателю.

22х - 14*22 = 4у + 16 и получаем уравнение общего вида:

22х - 4у - 292 = 0 или, сократив на 2,

АС: 11х - 2у - 196 = 0.

3) рівняння прямої AB у відрізках на осях;

Получили общее уравнение прямой АВ: 3х + 4у - 26 = 0.

Перенесём свободный член направо и разделим обе части равенства на него.

(3/26)х + (4/26)у = 1.

Здесь (3/26) и (4/26) и есть отрезки, отсекаемые прямой на осях.

4) внутрішній кут A;

Найден вектор АВ = (-12; 9),

модуль равен √((-12)² + 9²) = √(144+81) = √225 = 15.

Найден вектор  АС = (4; 22),

модуль равен √(4² + 22²) = √(16+484) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.

cos A = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5) = 150/335,4102 = 0,447214.

A = arccos 0,447214 = 1,107149 радиан или  63,43495 градуса.

5) загальне рівняння висоти CD та її довжину;

Уравнение высоты CD как перпендикуляра к АВ с уравнением 3х + 4у - 26 = 0 имеет в уравнении общего вида коэффициент В и -А.

CD: 4х - 3у + C = 0. Для определения С подставим координаты точка С:

4*18 - 3*18 + C = 0, отсюда С = 54 - 72 = -18.

Уравнение CD: 4х - 3у - 18 = 0.

Длину CD найдём по разности координат точек C и D.

Точку D находим как точку пересечения прямых AB и CD.

АВ: 3х + 4у - 26 = 0|x(3) =  9x + 12y - 78 = 0

CD: 4х - 3у - 18 = 0|x(4) = 16x - 12y - 72 = 0

                                            25x      - 150 = 0.

x = 150/25 = 6, y = (4*6 - 18)/3 = 6/3 = 2.

Точка D(6; 2).

Вектор CD = (6-18; 2-18) = (-12; -16).

Длина CD = √((-12)² + (-16)²) = √(144+256) = √400 = 20.

6) рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно прямій AC  

Точка B(2;5), вектор АС: (4; 22).

Для прямой, параллельной АС, вектор АС сохраняется.

Уравнение ВК: (х - 2)/4 = (у - 5)/22.