Заранее . исследуйте функцию y=x^2+1/x^2-1 и постройте её график.

Дано: y = x²/(x²-1),

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения:  в знаменателе  х²-1 = (х-1)*(х+1) ≠ 0.

D(y)= X≠ ±1 , X∈(-∞;1)∪(1;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = ±1.

Вертикальные асимптоты  - Х = -1 и Х = 1.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = 0 .  b = 0 и

y(x) = 0 - горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Y(x) =0.  Нулей функции - нет.

Пересечение с осью ОУ :  Y(0) = -1.

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-1;1). Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-1)∪(1;+∞;)  

6. Проверка на чётность.

Функция чётная. Y(-x) = Y(x) ,  

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 2*x/(x²-1)- 2*x/(x²-1)² = -4x/(x²-1)² = 0.  

x₁ = 0,  x₂ = -1, x₃ = 1  - точки экстремумов.  

8. Локальный максимум: y(0) = 0.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;-1)∪(-1;0).  Убывает: X∈(0;1)∪(1;+∞).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = (12*x²+4)/(x-1)³ = 0  

Точки перегиба нет, кроме разрывов при Х = ±1.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-1)∪(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(1;1);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.