Записать 9 двузначных чисел так, чтобы сумма любых двух чисел была нечётная, а сумма всех чисел была чётная.

Это невозможно.
Что сумма двух чисел была нечетной, одно из них должно быть четным, а другое нечетным.
Пусть 4 числа из девяти равны a, b, c и d.
Тогда a + b - нечетное число (по условию). Пусть тогда a - четное число, b - нечетное.
Аналогично c + d - нечетное число. Пусть c - четное, d - нечетное.
Но тогда a + c и b + d будут четными числами. Следовательно, это невозможно.