Задано похiдну функцii f(х)=x(x+2)(4-x) Укажiть точки максимуму функцii f(x)

Пошаговое объяснение:

Задано похiдну функцii f(х)=x(x+2)(4-x) Укажiть точки максимуму функцii f(x)

Для удобства нахождения производной раскроем скобки и получим многочлен.

f(х)=x(x+2)(4-x) =(x²+2х)(4-x) =

=х²*4-х²*х+2х*4-2х*х=

=4х²-х³+8х-2х² = 2х²-х³+8х  

Формула производной степени х    

(a*xⁿ)=a*nxⁿ⁻¹

f'(х)=2*2x-3x²+8 = -3x²+4x+8=0

Находим точки экстремума,для чего приравниваем 0 первую производную.

Решаем уравнение : -3x²+4x+8=0

х₁,₂= (-4±√(16-4*(-3)*8) /(2*(-3)=(-4±√112)/-6  =  (4±√112)/6 =4/6±√112/6

 √112=√(16*7)=4√7 вынесем 4 (корень из 16) и сократим на 2

х₁=2/3 -4√7/6=2/3-2√7/3

х₂=2/3 +4√7/6=2/3+2√7/3

Для нахождения точек экстремума можем воспользоваться знаком второй производной в критических точках.

Удобно и легко пользоваться,когда первая производная простой полином.

Правило: Критическая точка  является точкой минимума, если вторая производная функции в этой точке положительна, и точкой максимума,если вторая производная в этой точке отрицательна.

f'(х)= -3x²+4x+8=0

f"(х)=( -3x²+4x+8)'=-6x+4

-6(2/3-2√7/3)+4=-4+12√7/3+4 >0  минимум

x=2/3-2√7/3 -точка минимума (вторая производнаю больше 0)

-6(2/3+2√7/3)+4=-4-12√7/3+4 < 0  максимум

x=2/3+2√7/3 -точка максимума (вторая производная меньше 0)

Второй методом интервалов для знаков производной

Проверяем знак производной на каждом интервале.

f'(-2)= -3*4-8+8 < 0         f'(0)= 0-0+8 >0              f'(3)= -3*9+4*3+8 < 0

           _                                  +                                   _               f'(х) (Знак)

-2₀0₀3

                     2/3-2√7/3                       2/3+2√7/3                         f(х)  

              \                                  /                                     \        поведение                                      

      убывает                возрастает                     убывает            

              Точка минимума                 Точка максимума

                  х=2/3-2√7/3                         х =  2/3+2√7/3

Как видите оба дали одинаковый результат.