Задано координати вершин трикутника ABC . Знайти:
1) рівняння прямої AB у відрізках на осях;
2) внутрішній кут A;
3) загальне рівняння висоти CD та її довжину;
4) рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно прямій AC .
А(11;-5) В(-1;4) С(15;17)

Задано координати вершин трикутника ABC: А(11;-5) В(-1;4) С(15;17)

Знайти:

1) рівняння прямої AB у відрізках на осях;

Находим вектор АВ = (-1-11; 4-(-5)) = (-12; 9).

Составляем каноническое уравнение АВ.

АВ: (х - 11)/(-12) = (у + 5)/9. Приводим к общему знаменателю.

9х - 99 = -12у - 60 и получаем уравнение общего вида:

9х + 12у - 39 = 0.

Перенесём свободный член направо и разделим обе части равенства на него.

(9/39)х + (12/39)у = 1.

Здесь (9/39) и (12/39) и есть отрезки, отсекаемые прямой на осях.

2) внутрішній кут A;

Найден вектор АВ = (-12; 9),

модуль равен √((-12)² + 9²) = √(144+81) = √225 = 15.

Находим вектор АС = (15-11; 17-(-5) = (4; 22),

модуль равен √(4² + 22²) = √(16+484) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.

cos A = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5) = 150/335,4102 = 0,447214.

A = arccos = 1,107149 радиан или  63,43495 градуса.

3) загальне рівняння висоти CD та її довжину;

Уравнение высоты CD как перпендикуляра к АВ с уравнением 9х + 12у - 39 = 0. имеет в уравнении общего вида коэффициент В и -А.

CD: 12х - 9у + C = 0. Для определения С подставим координаты точка С:

12*15 - 9*17 + C = 0, отсюда С = -180 + 153 = -27.

Уравнение CD: 12х - 9у - 27 = 0.

Длину CD найдём по разности координат точек C и D.

Точку D находим как точку пересечения прямых AB и CD.

АВ: 9х + 12у - 39 = 0|x(9) =   81x + 108y - 351 = 0

CD: 12х - 9у - 27 = 0|x(12) = 144x - 108y - 324 = 0

                                             225x           - 675 = 0.

x = 675/225 = 3, y = (27 - 12*3)/9 = -9/9 = -1.

Точка D(3; -1).

Вектор CD = (3-15; -1-17) = (-12; -18).

Длина CD = √((-12)² + (-18)²) = √(144+324) = √468 ≈ 21,6333.

4) рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно прямій AC.

У этой прямой направляющий вектор равен вектору АС.

Только подставляем координаты точки В.

BK: (х + 1)/4 = (у - 4)/22. Приводим к общему знаменателю.

22х + 22 = 4у - 16 и получаем уравнение общего вида:

22х - 4у + 38 = 0.