Задание в скриншоте. Заранее

Пошаговое объяснение:

1. область определения.

функция определена везде, где знаменатель не равен нюлю

x²-1 ≠ 0 ⇒ х ≠ ±1

ООФ x ∈ R: x≠1 ∪ x≠ -1

2) уравнение касательной

f'(x) =  -3x²-6x

f(-5) = 52

f'(-5)= -45

уравнение касательной

y=52+(-45)(x--5)

или

3) экстремумы и монотонность

критические точки ищем при первой производной

f'(x) = 3x²-18x+15

3x²-18x+15 = 0 ⇒  x₁ = 1;   x₂ = 5 -это точки экстремума

f(1) = 7  это максимум

f(5) = -25 - это минимум

теперь рассмотрим интервалы монотонности

(-∞ ;1)  f'(0) = +15 > 0 - функция возрастает

(1; 5)  f'(2) = 3*2² -18*2 +15 = -9 < 0 функция убывает

(5; +∞)  f'(10) = 3*10² -18*10 +15 > 0 - функция возрастает

4) экстремумы на промежутке

ищем критические точки

f'(x) =  4 - 2x

4 - 2x = 0 ⇒  x₁ = 2

поскольку нам задана парабола ветвями вниз, то это будет точка максимума и она ∈ [0;4]

f(2) = 6 - это максимум

поскольку нам заданы минимум и максимум на отрезке, ищем значения функции на концах отрезка

f(0) = 2

f(4) = 2

итого имеем

наибольшее значение функции в точке х=2 равно f(2) = 6

наименьшие значения функции на концах отрезка и равны

f(0) = 2 f(4) = 2