Задание из ЕГЭ Задание из ЕГЭ

13. а)  Решите уравнение 2cos(2x -π/3) -sinx =√3sin2x .

13. б)  Найдите все корни данного уравнения принадлежащие отрезку [ -5π ; -7π/2] .

ответ:  а) - π/2 +2πk , k∈  ℤ ,   π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn  ,   n ∈ℤ

б) - 4,5π ;   - 23π/6

Пошаговое объяснение:  2cos(2x -π/3) - sinx =√3sin2x⇔

2*( cos2x*cos(π/3) +sin2x*sin(2π/3) ) -  sinx =√3sin2x ⇔

2*( cos2x*1/2 +sin2x*√3/2 ) -  sinx =√3sin2x ⇔

cos2x + √3sin2x - sinx = √3sin2x  ⇔ 1 -2sin²x -sinx =0 ⇔

2sin²x  + sinx  - 1 =0  ⇒  sinx = - 1  ;  sinx =  1/2

x = -π/2 +2πк , k∈  ℤ    ;   x =  (-1)ⁿπ/6 + πn ,        n ∈ℤ           иначе

x = -π/2 +2πk , k∈  ℤ    ;   x =  π/6 + 2πn , x = 5π/6+ 2πn  ,    n ∈ℤ

- - - - - - -

б)  x  ∈ [ -5π ; -7π/2] .  

- 5π  ≤  - π/2 +2πk ≤  -7π/2 ⇔ - 4,5π ≤ 2πk ≤ -3π  ⇔ -2,25  ≤ k ≤ -1,5  ;

k = -2     ⇒                  x = - 4,5π

- - -

x =  π/6 + 2πn    

n = - 2          ⇒ x = π/6+ 2π*(-2) = -4π+π/6 =  -23π/6

n = -3           ⇒ x = π/6+ 2π*(-3) = -6π+π/6 =  -35π/6  <  - 5π

* * * - 5π  ≤  π/6 +2πn ≤  -7π/2⇔-5π -π/6≤ 2πn ≤ -7π/2 -π/6 ⇔-31/12 ≤  n ≤ -22/12    n = -2 * * *                                                                                                      - - - - - -

x =  5π/6 +  2πn  ;    в отрезке  [ -5π ; - 7π/2 ]   не содержит решения

действительно , выбираем :  

n = - 3 ⇒ x =5π/6 +  2π*(-3) = -6π +5π/6 = -31π/6  <  -5π   = - 30π/6  ,

n= - 2 ⇒  x = - 19π/6 >  - 7π/2         = - 21π/6

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * - 5π ≤  5π/6 +2πn ≤  -7π/2⇔ -5π -5π/6  ≤ 2πn≤ -7π/2-5π/6⇔

-35π/6≤  2πn ≤ -26π/6  ⇔ - 35/12  ≤  n ≤ - 26/12   нет целое число * * *