Является ли бесконечной большой при x-> 0 функция (1/x)*cos (1/x)?

Для того, чтобы ответить на данный вопрос, нужно проанализировать поведение функции при x->0. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с определения: функция (1/x)*cos (1/x) определена для всех значений x, кроме x=0, так как в этом случае мы получаем деление на ноль.

2. Посмотрим на поведение функции при приближении x к нулю справа (x-->0+). В этом случае внутри функции (1/x)*cos (1/x) значения аргумента cos(1/x) будут очень большими, так как 1/x будет очень маленьким числом. Исходя из этого, мы можем сказать, что функция будет осциллировать на бесконечности, то есть значения будут переключаться между положительными и отрицательными числами приближенно равными 1/x. Таким образом, функция будет неограниченной при x-->0+.

3. Теперь подойдем к пределу функции при x-->0-. Если внутри функции рассмотреть аргумент cos(1/x), то при x-->0- значения аргумента будут также большими, но у нас будет разница в знаке, так как 1/x будет отрицательным числом. Это означает, что функция будет осциллировать на бесконечности, но значения будут переключаться между отрицательными и положительными числами, приближенно равными 1/x. Таким образом, и в этом случае функция будет неограниченной при x-->0-.

4. Проанализируем весь предел функции при x-->0 (суммирование двух пределов справа и слева). Так как значения функции при x-->0+ и x-->0- постоянно переключаются между положительными и отрицательными значениями, мы можем сказать, что предел функции при x-->0 не существует. Формально говоря, можно записать это так: lim(x->0) (1/x)*cos (1/x) = не существует.

Таким образом, функция (1/x)*cos (1/x) не является бесконечно большой при x->0, так как предел функции не существует.