Y''-y'=x^2+x дифференциальное уравнение

Это линейное  неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем  линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-y'=0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-k=0

k(k-1)=0

k_(1)=0 и   k_(2)=1

корни действительные различные

общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y(общее одн)=C₁e^(k₁x)+C₂e^(k₂x)

y(общее одн)=C₁+C₂eˣ

- общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид,

k=0  - корень характеристического уравнения и поэтому частное решение  имеет вид:

y(частное неодн)=x·(Аx²+Bx+D) ⇒  y_(частное неодн)=Аx³+Bx²+Dх

y `(частное неодн) =3Ax²+2Bх+D

y ``(частное неодн)=6Ах+2В

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(6Ах+2В)-(3Ax²+2Bх+D)=x²+х

Два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной

 -3Аx²+(6А-2B)·x+(2В-D)=x²+х

-3А=1

6A-2B=1

2B-D=0

A=-1/3

B=-3/2

D=-3

y(общее неодн)=у(общее однород) +y(частное неодн)

y(общее неодн)=C₁+C₂eˣ-(1/3)x³-(3/2)x²-3x